Question

已知拋物線y=ax²+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，且AB=5，交y軸于點(diǎn)C（0，

75

16

）．
（1）求拋物線的解析式
（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸上方的任意一點(diǎn)，求tan∠DAB+tan∠DBA為一定值；
（3）若點(diǎn)D（-1.5，m）是拋物線y=ax²+c上一點(diǎn)．
①判斷△ABD的形狀并加以證明．
②若M是線段AD上以動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），N是線段AB上一點(diǎn)，設(shè)AN=t，t為何值時(shí)，線段AD上的點(diǎn)M總存在兩個(gè)不同的位置使∠BMN=∠BDA

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)y=ax²+c交y軸于C（0，

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），可得c=

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，再根據(jù)對(duì)稱軸為y軸，AB=5，可得B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），再根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；     
（2）設(shè)D（x，-

3

4

x²+

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），過(guò)D作DE⊥AB于E點(diǎn)．根據(jù)正切函數(shù)可得tan∠DAB+tan∠DBA是一個(gè)定值．
（3）①將D（-15，m）代入函數(shù)的表達(dá)式中中，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BD=5=AB，根據(jù)等腰三角形的判斷即可得到△ABD是等腰三角形．
②設(shè)AM=x，則DM=

10

-x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得關(guān)于x的方程，根據(jù)根的判別式和實(shí)際意義可得t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=ax²+c交y軸于C（0，

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），
∴c=

75

16

，
∵對(duì)稱軸為y軸，AB=5，
∴B（

5

2

，0），A（-

5

2

，0），
將B（

5

2

，0）代入y=ax²+

75

16

，
解得a=-

3

4

．
∴y=-

3

4

x²+

75

16

；        

（2）設(shè)D（x，-

3

4

x²+

75

16

），
如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E點(diǎn)．
∴tan∠DAB+tan∠DBA
=

DE

AE

+

DE

BE

=

- 3 4 x2+ 75 16

t+ 5 2

+

- 3 4 x2+ 75 16

5 2 -t

=

15

4

，
∴tan∠DAB+tan∠DBA是一個(gè)定值．

（3）①△ABD是等腰三角形．理由如下：
將D（-1.5，m）代入y=-

3

4

x²+

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中，
可得m=3，
∴D（-

3

2

，3），
∴DE=3，BE=

5

2

，
∴BD=

DE2+BE2

=5=AB，
∴△ABD是等腰三角形．
②由①可得，AD=

10

，
設(shè)AM=x，則DM=

10

-x，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠BMN=∠BDA，
∴∠BMD+∠AMN=∠BMD+∠DBM，
∴∠AMN=∠DBM，
∴△AMN∽△DBM，
∵AN=t，
∴

AM

DB

=

AN

DM

，
∴

x

5

=

t

10 -x

，
∴x²-

10

x-5t=0，
∵存在兩個(gè)不同的位置，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=10-4×5t＞0，
解得t＜

1

2

．
∴當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，總存在兩個(gè)不同的位置，使∠BMN=∠BDA．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，正切函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，根的判別式，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．