Question

設(shè)0＜b＜a＜

π

2

，求證：

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等式的基本性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得函數(shù)f（x）在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，即tanx＞x．同理可證：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得函數(shù)函數(shù)g（x）在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，同理可證：函數(shù)y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞減．即可證明．

解答： 證明：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．
則f′（x）=

1

cos2x

-1＞0，∴函數(shù)f（x）在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0，即tanx＞x．
同理可證：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．
再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．
則g′(x)=

x cos2x -tanx

x2

=

x-sinxcosx

x2

＞

x-sinx

x2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，
同理可證：函數(shù)y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞減．
∵0＜b＜a＜

π

2

，
∴

sina

a

＜

sinb

b

，

tanb

b

＜

tana

a

，
∴

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性證明不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．