Question

14．已知圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0 圓C上任取一點M，過M做y軸的垂線，垂足為N，求MN的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 先給出點M，N的坐標(biāo)，M，N是已知動點，Q是未知動點，用未知動點Q的坐標(biāo)表示出已知動點M的坐標(biāo)，然后代入已知圓的方程化簡即可．

解答 解：由題意設(shè)M（x₀，y₀），則N（0，y₀），中點坐標(biāo)為Q（x，y）．
則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}+12=0$①．
又由已知得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，
代入①化簡后得：4x²+y²-8y+12=0．
故所求MN中點的方程為4x²+y²-8y+12=0．

點評 本題考查了與相關(guān)動點問題有關(guān)的軌跡方程的求法，一般是利用已知用所求點的坐標(biāo)表示出已知點的坐標(biāo)然后代入已知方程即可．