Question

3．已知函數(shù)f（x）=x^k+b（其中k、b∈R且k、b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），B（16，4）．P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半軸上的點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，記它們的邊長是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，記{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）代入點(diǎn)A（4，2），B（16，4）．可得k，b的方程組，解得k，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）由題意求得P₁，P_n的坐標(biāo)，代入函數(shù)式，解得a₁，再將n換成n-1，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求出b_n的通項(xiàng)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，求得S_n，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{k}+b=2}\\{1{6}^{k}+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，即有f（x）=$\sqrt{x}$；
（2）由題意可得Q₁（a₁，0），P₁（$\frac{{a}_{1}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$a₁），
代入函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$，可得$\frac{3}{4}$a₁²=$\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$，
又P_n（a₁+a₂+…+$\frac{1}{2}$a_n，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a_n），
代入函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$，可得$\frac{3}{4}$a_n²=a₁+a₂+…+a_n-1+$\frac{1}{2}$a_n，n≥2，①
將n換成n-1，可得$\frac{3}{4}$a_n-1²=a₁+a₂+…+a_n-2+$\frac{1}{2}$a_n-1，②
①-②，可得$\frac{3}{4}$a_n²-$\frac{3}{4}$a_n-1²=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1．
即有$\frac{3}{2}$（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
化簡可得，a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，
即有a_n=a₁+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n；
（3）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{n}{{2}^{n}}$，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$）③
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）④
③-④，可得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）
=$\frac{2}{3}$（$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$），
即有S_n=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．