Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求證：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，

所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，

又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD平面AED，

所以BD⊥平面AED；

（2）解法一：由（1）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，

又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（ ，﹣ ，0），F(xiàn)（0，0，1），因此 =（ ，﹣ ，0）， =（0，﹣1，1）

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 =0， =0

所以x= y= z，取z=1，則 =（ ，1，1），

由于 =（0，0，1）是平面BDC的一個(gè)法向量，

則cos＜ ， ＞= = = ，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，F(xiàn)C，CG平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，

因此CG= CB，又CB=CF，

所以GF= = CG，

故cos∠FGC= ，

所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

【解析】（1）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；（2）解法一：由（1）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結(jié)合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；
解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定和向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若．