Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點(diǎn)（1，0）處相切，當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出f′（x），由函數(shù)在x=-2處取得極值得到f′（-2）=0，根據(jù)函數(shù)與直線在點(diǎn) （1，0 ）處相切，可得f′（1）=-3，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程，求出a和b，由函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，0），代入求出c的值，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式可求，再求出函數(shù)x∈[-3，3]時(shí)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0，
化簡(jiǎn)得：12-4a+b=0  ①
又f′（1）=3+2a+b=-3  ②
聯(lián)立①②得：a=1，b=-8
又f（x）過(guò)點(diǎn)（1，0）
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6．
∴f（x）=x³+x²-8x+6，
∴f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
x∈[-3，3]時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 4 3 ）	4 3	（ 4 3 ，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	12	單調(diào)遞增	18	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增	18

由上表可知，當(dāng)x∈[-3，3]，函數(shù)f（x）的最大值是18，最小值是-

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是中檔題．