Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數(shù)y=f（x）的一個不動點．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）．
（Ⅰ）對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若y=f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是f（x）的不動點，且A，B兩點關(guān)于直線y=kx+

1

2a2+1

對稱，求b的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）轉(zhuǎn)化為ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為b²-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函數(shù)大于0恒成立須滿足的條件來求解即可．
（Ⅱ）利用兩點關(guān)于直線對稱的兩個結(jié)論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．找到a，b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，
∴f（x）-x=ax²+bx+（b-1）=0恒有兩個不等的實根，
∴△=b²-4a（b-1）=b²-4ab+4a＞0對b∈R恒成立，
∴（4a）²-16a＜0，得a的取值范圍為（0，1）．…4分
（Ⅱ）由ax²+bx+（b-1）=0得

x1+x2

2

=-

b

2a

，
由題知k=-1，y=-x+

1

2a2+1

，…6分
設(shè)A，B中點為E，則E的橫坐標為(-

b

2a

，

b

2a

+

1

2a2+1

)，…10分
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

，
∴b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

2

4

，當且僅當2a=

1

a

(0＜a＜1)，即a=

2

2

時等號成立，
∴b的最小值為-

2

4

．…12分．

點評：本題是在新定義下對函數(shù)知識的綜合考查，是一道好題．關(guān)于兩點關(guān)于直線對稱的問題，有兩個結(jié)論同時存在，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．