Question

已知向量

a

，

b

為單位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，向量

c

與

a

+

b

共線，則|

a

+

c

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：向量

a

，

b

為單位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，可得＜

a

，

b

＞=120°．不妨取

a

=（1，0），

b

=(-

1

2

，

3

2

)．由向量

c

與

a

+

b

共線，可得

c

=λ(

a

+

b

)=(

1

2

λ，

3

2

λ)．再利用數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

為單位向量，且

a

•

b

=-

1

2

，
∴1×1×cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=120°．
不妨取

a

=（1，0），

b

=(-

1

2

，

3

2

)．
∴

a

+

b

=(

1

2

，

3

2

)．
∵向量

c

與

a

+

b

共線，
∴

c

=λ(

a

+

b

)=(

1

2

λ，

3

2

λ)．
∴

a

+

c

=(

1

2

λ+1，

3

2

λ)．
∴|

a

+

c

|=

( 1 2 λ+1)2+( 3 2 λ)2

=

(λ+ 1 2 )2+ 3 4

≥

3

2

，當且僅當λ=-

1

2

時取等號．
∴|

a

+

c

|的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．