Question

11．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：平面SAB⊥平面SBC；
（3）求直線SC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)棱錐的條件公式即可求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面SAB⊥平面SBC；
（3）找出直線和平面所成的角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求直線SC與底面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（1）四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•（AD+BC）•AB•SA$=$\frac{1}{6}×（\frac{1}{2}+1）×1×1=\frac{1}{4}$；
證明：（2）∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SBC，
∴平面SAB⊥平面SBC；
解：（3）連接AC，
∵SA⊥平面ABCD，
∴∠SCA就是直線SC與底面ABCD所成的角，
在△SCA中，SA=1，AC=$\sqrt{2}$，
tan∠SCA=$\frac{SA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直線SC與底面ABCD所成角的正切值為=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查棱錐的體積的計算，面面垂直的判定以及直線和平面所成角的求解，根據(jù)相應(yīng)的定義和公式是解決本題的關(guān)鍵．