Question

16．如圖，已知圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，半徑為1，點(diǎn)A（0，3）．
（Ⅰ）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（Ⅱ）若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心C的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)A作圓C的切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，然后求切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)出圓C的方程，點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用|MA|=2|MO|，求出M的軌跡，通過(guò)兩個(gè)圓的位置關(guān)系，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，得圓心C（3，2），過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線斜率存在，設(shè)A點(diǎn)的圓C的切線的方程：y=kx+3，即kx-y+3=0．由題意，$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0，k=$-\frac{3}{4}$，所求切線方程為：y=3或3x+4y-12=0；
（Ⅱ）∵圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，
∴圓C的方程設(shè)為：（x-a）²+（y-（2a-4））²=1，設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，化簡(jiǎn)可得x²+（y+1）²=4，點(diǎn)M在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上．
由題意，點(diǎn)M（x，y）在圓上，
∴圓C和圓D有公共點(diǎn)，則|2-1|≤|CD|≤2+1，
∴1$≤\sqrt{{（a-0）}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤3，即1$≤\sqrt{{5a}^{2}{-12a+9}^{\;}}≤3$，5a²-12a+8≥0，可得a∈R，由5a²-12a≤0，可得0$≤a≤\frac{12}{5}$，
圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍：$[0，\frac{12}{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．