Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，右準(zhǔn)線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線AM與直線l交于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，判斷點(diǎn)B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點(diǎn)N，若直線MN垂直于x軸，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由解得所以b²=3．
所以橢圓方程為=1． …（4分）
（2）因?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/71618.png' />，所以x_M=1，代入橢圓得y_M=，即M（1，），
所以直線AM為：y=（x+2），得P（4，3），
所以=（-1，），=（2，3）． …（8分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/233113.png' />=≠0，所以點(diǎn)B不在以PM為直徑的圓上． …（10分）
（3）因?yàn)镸N垂直于x軸，由橢圓對(duì)稱性可設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直線AM的方程為：y=（x+2），所以y_p=，
直線BN的方程為：y=（x-2），所以y_p=，…（12分）
所以=．因?yàn)閥₁≠0，所以=-．解得x₁=1．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，±）． …（16分）
分析：（1）由題意建立方程組可求a²和b²的值，可寫方程；
（2）要判斷點(diǎn)B是否在圓上，可轉(zhuǎn)化為判是否為0；
（3）設(shè)點(diǎn)，寫出直線的方程，分別和橢圓方程聯(lián)立，可解得y_p=，和y_p=，由兩式相等可解得M坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題為橢圓與直線的位置關(guān)系的考查，涉及向量的知識(shí)和圓的知識(shí)，屬中檔題．