Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O，右焦點為F．若C的右準(zhǔn)線l的方程為x=4，離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P為直線l上一動點，且在x軸上方．圓M經(jīng)過O、F、P三點，求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由題意知

a2 c =4 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能夠求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知，F(xiàn)（2，0），由題意設(shè)P（4，t），t＞0，線段OF的垂直平分線方程為x=1，因為線段FP的中心為（3，

t

2

），斜率為

t

2

．所以線段FP的垂直平分線方程為y-

t

2

=-

2

t

(x-3)，由此入手能夠求出圓M的方程．

解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
則

a2 c =4 c a = 2 2 a2=b2+c2

，
解得a=2

2

，b=2，c=2，
∴所求橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）知，F(xiàn)（2，0），由題意設(shè)P（4，t），t＞0，
線段OF的垂直平分線方程為x=1，①
因為線段FP的中心為（3，

t

2

），斜率為

t

2

．
所以線段FP的垂直平分線方程為y-

t

2

=-

2

t

(x-3)，
即y=-

2

t

x+

5

t

+

t

2

，②
聯(lián)立①②，解得

x=1 y= t 2 + 4 t

，
即：圓心M（1，

t

2

+

4

t

），
∵t＞0，∴

t

2

+

4

t

≥2

t 2 • 4 t

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

t

2

=

4

t

，即t=2

2

時，
圓心M到x軸的距離最小，此時圓心為M（1，2

2

），半徑為OM=3，
故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-2

2

)2=9．

點評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．