設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8(a∈R)在x=3處取得極值
(1)求常數(shù)a的值;
(2)求f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間;
(3)求f(x)在[-4,4]上的最值.
解:(1)∵函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8(a∈R),
∴f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a,
因f(x)在x=3取得極值,
所以f'(3)=0.解得a=3.(3分)
經(jīng)檢驗知當(dāng)a=3時,x=3為f(x)為極值點.
故a=3.(2分)
(2)由(1)知f'(x)=6x2-24x+18=6(x-3)(x-1)=0,
得x1=3,x2=1.
故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上單調(diào)增,
(1,3)上單調(diào)減.(5分)
(3)由(2)知f(x)在(-4,1)和(3,4)上單調(diào)增,(1,3)上單調(diào)減
又f(-4)=-384,
f(1)=f(4)=16,
f(3)=8,
∴f(x)在[-4,4]上的最大值為16,最小值為-384.(5分)
分析:(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a因f(x)在x=3取得極值,由此能求出a.
(2)由(1)知f'(x)=6x2-24x+18=6(x-3)(x-1)=0得x1=3,x2=1.由此能求出f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間.
(3)由(2)知f(x)在(-4,1)和(3,4)上單調(diào)增,(1,3)上單調(diào)減,由此能求出f(x)在[-4,4]上的最值.
點評:本題考查求常數(shù)a的值,求f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間,求f(x)在[-4,4]上的最值.解題時要認(rèn)真審題,仔細解答,注意挖掘題設(shè)中的隱條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.