Question

【題目】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線:與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),,,若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn),設(shè),,將其代入利用點(diǎn)差法,即可求得答案.

（2）因?yàn)?/span>,,三點(diǎn)共線,, 根據(jù)三點(diǎn)共線性質(zhì)可得:,則,將直線和橢圓聯(lián)立方程消掉,結(jié)合已知,利用韋達(dá)定理即可求得答案.

（1） 焦距為,則,

設(shè),,

為弦的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得:,,

又 將其,代入橢圓:

將兩式作差可得:,

,

——①.

——②

由①②得:

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2） ,,三點(diǎn)共線,

根據(jù)三點(diǎn)共線性質(zhì)可得: ,則

設(shè),,則,

.

將直線和橢圓聯(lián)立方程消掉.

可得:.

——①,

根據(jù)韋達(dá)定理:,,

代入,可得:,,

,即.

,,

——②,

代入①式得,即,

,

滿足②式,

或.