Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2cos²x+1
（1）當x∈（0，

π

2

），求函數(shù)f（x）的值域
（2）若f（α）=

8

5

（α∈[0，

π

3

]），求cos2α的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先對三角函數(shù)進行恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進一步利用定義域求出函數(shù)的值域．
（2）對三角函數(shù)中的角進行恒等變換，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出結果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2cos²x+1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）．
因為：x∈（0，

π

2

），
所以：-

π

6

＜2x-

π

6

＜

5π

6

，
-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1，
所以：函數(shù)f（x）的值域為：（-1，2]；
（2）f（α）=

8

5

，
所以：f(α)=2sin(2α-

π

6

)=

8

5

，
則：sin(2α-

π

6

)=

4

5

，
由于：α∈[0，

π

3

]，
所以：-

π

6

≤2α-

π

6

≤

π

2

，
所以：cos(2α-

π

6

)=

3

5

，
則cos2α=cos[（2α-

π

6

）+

π

6

]=cos（2α-

π

6

）cos

π

6

-sin（2α-

π

6

）sin

π

6

=

3 3 -4

10

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，三角函數(shù)角的恒等變換，三角函數(shù)的求值問題，屬于基礎題型．