Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
（3）（理科）當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）有極值，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值的定義，先對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的解，再根據(jù)極值的定義看在所求的點(diǎn)處能否取到極值，是極大值還是極小值；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)根的判別式討論導(dǎo)函數(shù)=0方程的解的情況得到關(guān)于a的不等式，因?yàn)閳D象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，①根的判別式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判別式大于0時(shí)由f（x₁）•f（x₂）＞0得到求出a的解集可；
（3）先求出a的值，再確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，2]上的最值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3，
所以f′（x）=x²-2x-3．
解x²-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
根據(jù)極值的定義知：x=-1時(shí)，f（x）取到極大值f（-1）=

14

3

；x=3時(shí)，f（x）取到極小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，則△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
②若a＜1，則△＞0，∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
∵x₁²-2x₁+a=0，∴a=-x₁²+2x₁．
∴f（x₁）=

1

3

x₁[x₁²+3（a-1）]
同理f（x₂）=

1

3

x₂[x₂²+3（a-1）]
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．
（3）f′（x）=x²-2x+a，
∵x=4時(shí)，函數(shù)f（x）有極值，
∴f′（4）=16-8+a，
∴a=-8，
∴f′（x）=（x-4）（x+2），f（x）=

1

3

x³-x²-8x+8
∴函數(shù)在[-4，-2]上單調(diào)遞增，在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值

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3

，最小值34

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的定義，只要理解極值的定義，分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．