Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．
（1）寫(xiě)出a₁，a₂，a₃；             
（2）猜想a_n，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N*），可求得a₁，a₂，a₃；  
（2）由（1）可猜想，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*），然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： （1）解：（由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N*），
令n=1得a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

）⇒a₁=1；
令n=2得a₁+a₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）⇒a₂=

2

-1；
令n=3得a₁+a₂+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

），即1+（

2

-1）+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

），
整理得：a32+2

2

a₃-1=0，解得a₃=-

2

+

3

或a₃=-

2

-

3

（因?yàn)閍₃＞0，故舍去）；
（2）根據(jù)（1）猜想，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*）．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=

k

-

k-1

，
則S_k=a₁+a₂+…+a_k=1+（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

k

-

k-1

）=

k

，
則n=k+1時(shí)，由S_k+1=S_k+a_k+1=

k

+a_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

），
整理得：ak+12+2

k

a_k+1-1=0，解得a_k+1=

k+1

-

k

或a_k+1=-

k+1

-

k

（舍去），
即n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜合①②知，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查計(jì)算、觀察、猜想及運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．