Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值；
（2）若方程f（x）-k=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=1-

f(x)

x2

，求證：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），通過①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)a＞0時，利用函數(shù)的單調(diào)性，分別求解函數(shù)的最值．
（2）由（1）推出

1

e

＜

1 2a

＜e，即可求出a的范圍．
（3）當(dāng)a=1時，得到g（x）=

lnx

x2

（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，g′（x）=

1-2lnx

x3

，利用函數(shù)g（x）單調(diào)性，推出g（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），然后證明即可．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax²-lnx，所以f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），
所以①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0恒成立，故遞減區(qū)間為（0，+∞），無最值；
②當(dāng)a＞0時，遞增區(qū)間為[

2a

2a

，+∞），遞減區(qū)間為（0，

2a

2a

），
所以有最小值f（

2a

2a

）=

1

2

[1+ln（2a）].4分
（2）由（1）可知，

1

e

＜

1 2a

＜e，所以

1

2e2

＜a＜

e2

2

.7分
（3）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=

lnx

x2

（x＞0），
g'（x）=

1-2lnx

x3

，
函數(shù)g（x）在（

e

，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，

e

）上單調(diào)遞增，
所以有g(shù)（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，且有

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），
取x=2，3，…，
則

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]，
所以

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•（1-

1

n

）＜

1

2e

.12分．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，放縮法以及裂項(xiàng)法證明不等式，考查函數(shù)與數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題額能力．