Question

已知函數(shù)f（x）=2xlnx．
（1）求單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）若對(duì)x≥1，都有函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，得x=

1

e

．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出2xlnx＞ax-2對(duì)?x≥1恒成立，所以a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2xlnx，
∴x＞0，f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）=0，得x=

1

e

．
當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區(qū)間是（0，

1

e

），增區(qū)間是（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

時(shí)，f（x）有最小值f（

1

e

）=

2

e

ln

1

e

=-

2

e

．
（2）∵對(duì)x≥1，都有函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，
∴2xlnx＞ax-2對(duì)?x≥1恒成立，
∴a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），
∴g′(x)=

2(x-1)

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴a＜2，即a的取值范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．