精英家教網(wǎng)已知拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的任一條弦AB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)且y1>0,y2<0
(1)若y1y2=-4,求拋物線方程;
(2)是否存在常數(shù)λ,使
1
|FA|
+
1
|FB|
=λ,若存在,求出λ的值,并給予證明,若不存在,請說明理由;
(3)在拋物線對稱軸(ox的正方向)上是否存在一定點M,經(jīng)過點M的任意一條弦AB,使
1
|MA|2
+
1
|MB|2
為定值,若存在,則求出定點M的坐標和定值,若不存在,請說明理由.
分析:(1)先設(shè)AB的方程代入y2=2px,利用條件y1y2=-4,可求拋物線方程;(2)利用拋物線的定義表示出FA,F(xiàn)B,再進行求解;(3)設(shè)AB:x=ty+p代入y2=2px,從而表示出MA2=(1+t2)y12,MB2=(1+t2)y22,進而得證.
解答:解:(1)設(shè)AB:x=ty+
p
2
代入y2=2px,得y2-2py-p2=0,∴y1y2=-p2=-4,∴p=2,∴拋物線方程y2=4x;
(2)①當AB⊥x軸時,
1
|FA|
+
1
|FB|
=λ=
2
p

②一般地,F(xiàn)A=
p
2
+x1=
y1(y1-y2)
2p
,F(xiàn)B=
p
2
+x2=
y2(y2-y1)
2p
1
|FA|
+
1
|FB|
2p(y2-y1)
y1y2(y1-y2)
=-
2p
y1y2
=
2
p
;
(3)假設(shè)存在定點M(x0,0)(x0>0)
①當AB⊥x軸時,可得
1
|MA|2
+
1
|MB|2
=-
1
p2
,M(p,0)
②一般地,設(shè)AB:x=ty+p代入y2=2px,得y2-2pty-2p2=0,∴y1y2=-2p2,y1+y2=2pt,
∵MA2=(1+t2)y12,MB2=(1+t2)y22,∴
1
|MA|2
+
1
|MB|2
=-
1
p2
得證.
點評:本題主要考查是否存在性命題,通?梢越柚谔厥馇樾危孪虢Y(jié)論,再進行一般性德證明,要充分利用拋物線過焦點弦的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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kMA+kMBkMF
是一個定值,并求出這個值.(其中kMA,kMB,kMF分別表示直線MA,MB,MF的斜率)

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OA
OB
=
0
0

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