Question

給出一個不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

（x∈R）．
經(jīng)驗證：當(dāng)c=1，2，3時，對于x取一切實數(shù)，不等式都成立．
試問：當(dāng)c取任何正數(shù)時，不等式對任何實數(shù)x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數(shù)x都能成立．

Answer 1

分析：令f（x）=

x2+1+c

x2+c

，設(shè)u=

x2+c

（u≥

c

），則f（x）=

u2+1

u

=u+

1

u

（u≥

c

）．用分析法可得要使f（x）-

c+1

c

≥0，只需要x²≥

1

c

-c． 故當(dāng)

1

c

＞c 時，原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，當(dāng) 

1

c

-c≤0時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立．

解答：解：令f（x）=

x2+1+c

x2+c

，設(shè)u=

x2+c

（u≥

c

），則f（x）=

u2+1

u

=u+

1

u

（u≥

c

）．
∴f（x）-

c+1

c

=(u+

1

u

)-

c+1

c

=

(u- c) (u c -1)

u c

．
要使不等式成立，即f（x）-

c+1

c

≥0．
∵u≥

c

＞0，∴只須u

c

-1≥0，
∴u²c≥1，即  u²≥

1

c

，∴x²+c≥

1

c

，∴x²≥

1

c

-c．
 故當(dāng)

1

c

＞c 時，即 0＜c＜1原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，即原不等式對一切實數(shù)x不都成立．
要使原不等式對一切實數(shù)x都成立，即使x²≥

1

c

-c對一切實數(shù)都成立．
∵x²≥0，故應(yīng)有

1

c

-c≤0．
再由c＞0 可得，當(dāng)c≥1時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立．

點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．