Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長(zhǎng)是2，離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M是橢圓C上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，點(diǎn)P是直線x+y-3=0上的一點(diǎn)，且△PMN是等邊三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），設(shè)P（s，3-s），由OP⊥MN，|OP|=$\sqrt{3}$|OM|，運(yùn)用兩直線垂直的條件和兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得m，n，進(jìn)而得到直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由短軸長(zhǎng)是2，離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
可得b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又a²-c²=1，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），
設(shè)P（s，3-s），由OP⊥MN，|OP|=$\sqrt{3}$|OM|，
可得k_OP•k_MN=-1，
即有$\frac{3-s}{s}$•$\frac{n}{m}$=-1，$\sqrt{{s}^{2}+（3-s）^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
可得s²=3n²，即有s=$\sqrt{3}$n，s-3=$\sqrt{3}$m
或s=-$\sqrt{3}$n，s-3=-$\sqrt{3}$m，則有n=m+$\sqrt{3}$或n=m-$\sqrt{3}$，
又$\frac{{m}^{2}}{3}$+n²=1，解方程可得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有直線MN的斜率為-1，
故直線MN的方程為y=-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查兩直線垂直的條件和直線的斜率和兩點(diǎn)距離公式，屬于中檔題．