Question

設(shè)四面體的各條棱長(zhǎng)都為1，若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求該球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：球

分析：將正四面體補(bǔ)成正方體，再將正方體放在一個(gè)球體中，利用它們之間的關(guān)系求出球的半徑即可求解球的表面積．

解答： 解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，
∵正四面體棱長(zhǎng)均為1，∴正方體的棱長(zhǎng)是

2

2

，
又∵球的直徑是正方體的對(duì)角線，設(shè)球半徑是R，
∴2R=

2

2

×

3

，
∴R=

6

4

，
∴該球的表面積：4π(

6

4

)2=

3π

2

．

點(diǎn)評(píng)：巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線，從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化．若已知正四面體V-ABC的棱長(zhǎng)為a，求外接球的半徑，可以構(gòu)造出一個(gè)球的內(nèi)接正方體，再應(yīng)用對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑可求得，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．