Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，截面ABC₁D₁為正方形．
（1）求長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；  
（2）求證：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

滿分（14分）．
（1）解：在直角三角形AA₁D₁中，AA₁=1，A₁D₁=AD=1，
∴．
∵截面ABC₁D₁為正方形，
∴．
∴長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=．
（2）證法一：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長(zhǎng)方體，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．
∵AD=AA₁，
∴四邊形AA₁D₁D為正方形．
∴AD₁⊥A₁D．

∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．
證法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長(zhǎng)方體，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵AB?平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D．
∵AD=AA₁，
∴四邊形AA₁D₁D為正方形．
∴AD₁⊥A₁D．
∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．

分析：（1）在直角三角形AA₁D₁中，求出AD₁，通過截面ABC₁D₁為正方形，求出AB，然后求解長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V；  
（2）證法一：證明AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，通過AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，證明A₁D⊥平面ABC₁D₁．
證法二：證明平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，證明AD₁⊥A₁D，平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，即可證明A₁D⊥平面ABC₁D₁．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面位置關(guān)系，幾何體體積等基本知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力，注意判定定理的應(yīng)用．