Question

如圖所示，ABCD是一聲邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形草地，P是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是空地，現(xiàn)開(kāi)發(fā)商想在空地上建造一個(gè)有兩邊分別落在BC和CD上的長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)PQCR．
（1）設(shè)∠PAB=α，長(zhǎng)方形PQCR的面積為S，試建立S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)α為多少時(shí)，S最大，并求最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)∠PAB=α（0°＜α＜90°），則AM=90cosα，MP=90sinα，PQ=100-cosα，PR=100-90sinα．由S_PQCR=PQ•PR能求出四邊形RPQC的面積S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并能寫(xiě)出定義域．
（2）設(shè)t=cosα+sinα．由0°≤α≤90°，知t∈[1，

2

]，cosαsinα=

t2-2

2

，由此能求出停車(chē)場(chǎng)面積的最大值．

解答： 解：（1）延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)∠PAB=α（0°＜α＜90°），
則AM=90cosα，MP=90sinα，
PQ=100-90cosα，PR=100-90sinα．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosα）（100-90sinα）
=10000-9000（cosα+sinα）+8100cosαsinα，{θ|0≤α≤

π

2

}．
（2）設(shè)t=cosα+sinα，
∵0°≤α≤90°，知t∈[1，

2

]，cosαsinα=

t2-2

2

，
∴S_PQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050（t-

10

9

）²+950．
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)PQCR面積的最大值為14050-9000

2

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分析數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程．易錯(cuò)點(diǎn)是忽視數(shù)學(xué)表達(dá)式在生產(chǎn)實(shí)際中的定義域的范圍．