Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{1+{2{x^2}}}$，定義正數(shù)數(shù)列{a_n}，${a_1}=\frac{1}{2}$，a_n+1²=2a_nf（a_n）（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是等比數(shù)列；
（2）令${b_n}=\frac{1}{a_n^2}-2$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使${S_n}＞\frac{31}{8}$成立的最小n的值．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1²=2a_nf（a_n）=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+1，整理可知$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-2），進(jìn)而可知數(shù)列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是以2為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，利用等比數(shù)列的求和公式可知S_n=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），從而${S_n}＞\frac{31}{8}$等價(jià)于4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{31}{8}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，a_n+1²=2a_nf（a_n）=2a_n•$\frac{{a}_{n}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{1+2{{a}_{n}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1+2{{a}_{n}}^{2}}{2{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$+1，
整理得：$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-2），
又∵$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$-2=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{2}}$-2=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n^2}-2\}$是以2為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2}-2$=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{{2}^{-1}}•（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵${S_n}＞\frac{31}{8}$，即4（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{31}{8}$，
整理得：$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{32}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
∴n＞5，
∴滿足條件的n最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．