Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．
（Ⅰ）求證：向量

a

⊥

b

；
（Ⅱ）若存在不同時為零的實數(shù)k、θ和λ，使

x

=

a

+(sinθ-3λ)

b

，

y

=-

k

4

a

+sinθ

b

，且

x

⊥

y

，試求函數(shù)關系式k=f（θ）；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結論，求函數(shù)k=f（θ）的最小值．

Answer 1

分析：（I）要證明

a

⊥

b

，只有證明

a

•

b

=0即可
（II）由，

x

•

y

=0可得[

a

+(sinθ-3λ)

b

]•(-

k

4

a

 +sinθ

b

)=0結合（I）

a

•

b

=0整理可求
（III）由（II）可得k=2sin²θ-6λsinθ=2(sinθ-

3

2

λ)2-

9

2

λ2結合-1≤sinθ≤1分①

3λ

2

≥1；②

3λ

2

≤-1，③-1＜

3λ

2

＜1三種情況，結合二次函數(shù)的性質進行求解函數(shù)的最小值即可

解答：證明：（I）∵

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0
∴

a

⊥

b

（II）由題意可得，

x

•

y

=0
[

a

+(sinθ-3λ)

b

]•(-

k

4

a

 +sinθ

b

)=0
結合（I）

a

•

b

=0，整理可得，-

k

4

a

2+sinθ(sinθ-3λ)

b

2=0
∴k=sin²θ-3λsinθ
（III）由（II）可得k=sin²θ-3λsinθ=(sinθ-

3λ

2

)2-

9λ2

4

∵-1≤sinθ≤1
①當

3λ

2

≥1即λ≥

2

3

時，k_min=f（1）=1-3λ
②當

3λ

2

≤-1，即λ≤-

2

3

時，k_min=f（-1）=1+3λ
③當-1＜

3λ

2

＜1即-

2

3

＜λ＜

2

3

時，kmin=f(

3λ

2

)=-

9

2

λ2×

1

2

=-

9λ2

4

點評：本題考查平面向量的基本運算性質，數(shù)量積的運算性質在三角函數(shù)與二次函數(shù)的最值求解中的應用，考查向量問題的基本解法，等價轉化思想