Question

17．當(dāng)x≥2時(shí)，2^-x＜log_ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，16）．

Answer 1

分析 由題意畫出函數(shù)${y}_{1}={2}^{-x}，{y}_{2}=lo{g}_{a}x$的圖象，求出y=log_ax經(jīng)過點(diǎn)（2，$\frac{1}{4}$）時(shí)的a值，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答 解：令${y}_{1}={2}^{-x}，{y}_{2}=lo{g}_{a}x$，
作出函數(shù)圖象如圖，

當(dāng)x≥2時(shí)，2^-x＞0，
若0＜a＜1，則x≥2時(shí)，log_ax＜0，不等式不成立，∴a＞1，
∵${y}_{1}={2}^{-x}，{y}_{2}=lo{g}_{a}x$交于（2，$\frac{1}{4}$）時(shí)a=16，
∴要使當(dāng)x≥2時(shí)，2^-x＜log_ax成立，則1＜a＜16．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，16）．
故答案為：（1，16）．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．