Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為等邊三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點(diǎn)．

（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；
（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，

連接B1C交BC1于O，連接OD，

因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是平行四邊形，

所以點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)，

又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D為△AB1C的中位線，

所以O(shè)D∥B1A，

又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，

所以BD⊥AC，

又因?yàn)锳A1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根據(jù)線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因?yàn)锽D平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，

∴S△BCD= ×3×3 = ，

∴ = = 6=9 ．

【解析】1、根據(jù)已知條件作輔助線：連接B1C交BC1于O，連接OD，由題意可得OD∥B1A，利用線面平行的判定定理可得證。
2、利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可得證。
3、利用等體積法轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)和底面可求出體積。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．