Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足：對?x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，并且當x＞0時，f（x）＜3．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）是R上的單調性并作出證明；
（3）若不等式f（（t-2）|x-4|）+3＞f（t²+8）+f（5-4t）對t∈（2，4）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=0，y=0，結合f（x+y）=f（x）+f（y）-3，可求f（0）的值；
（2）在R上設出兩個變量，利用當x＞0時，f（x）＜3，確定函數值的大小關系，即可證得結論；
（3）利用單調性，轉化為具體不等式，再分離參數，利用基本不等式，即可求得實數x的取值范圍．

解答：解：（1）令x=0，y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-3，
∴f（0）=3；
（2）f（x）是R上的減函數，證明如下：
設x₁＞x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-3-f（x₂）=f（x₁-x₂）-3，
∵x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＜3，
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的減函數；
（3）由（2）知f（x）是R上的減函數，
∴（t-2）|x-4|＜t²-4t+13對t∈（2，4）恒成立，
∴|x-4|＜

t2-4t+13

t-2

對t∈（2，4）恒成立，
∴|x-4|＜
∴|x-4|＜(

t2-4t+13

t-2

)min
設g(x)=

t2-4t+13

t-2

=(t-2)+

9

t-2

，當t∈（2，4）時g(x)∈(

13

2

，  +∞)
于是|x-4|≤

13

2

，解得：x∈[-

5

2

，  

21

2

]．

點評：本題考查抽象函數，考查賦值法的運用，考查函數單調性的證明，考查恒成立問題，考查分離參數、基本不等式的運用，正確分離參數，求出最值是關鍵．