Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax+1|（a∈R），在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（0，4]．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則在區(qū)間（1，+∞）上，f′（x）=2x-|2x-a|＞0恒成立，分類討論滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax+1|（a∈R），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間（1，+∞）上，f′（x）=2x-|2x-a|＞0恒成立，
即2x＞|2x-a|，
即直線y=2x在函數(shù)y=|2x-a|的圖象上方，
當a=0時，在區(qū)間（1，+∞）上，2x=|2x-a|=|2x|恒成立，不滿足條件；
當a＞0時，如圖1所示，

$\frac{a}{4}≤1$，解得：a∈（0，4]；
當a＜0時，如圖2所示，

不滿足條件；
綜上所述，可得a的取值范圍為：（0，4]

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．