Question

9．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（-x+3），f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 確定y=f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：∵f（x+1）=f（-x+3），
∴f（x+2）=f（-x+2），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱
∴f（4）=f（0）
又∵f（4）=1，∴f（0）=1
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$
又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．