Question

數(shù)列{a_n}中，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）•2ⁿ+1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²等于（　　）

• A、（2¹⁰-1）²
• B、

  1

  3

  （2¹⁰-1）
• C、4¹⁰-1
• D、

  1

  3

  （4¹⁰-1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）•2ⁿ+1，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）•2^n-1+1，兩式相減可得an=2n-1，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）•2ⁿ+1，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）•2^n-1+1，
∴n•a_n=（n-1）•2ⁿ+1-[（n-2）•2^n-1+1]=n•2^n-1．
∴an=2n-1，
∴

a

2 n

=(2n-1)2=

1

4

×4n．
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=

1

4

(41+42+…+410)=

1

4

×

4(410-1)

4-1

=

1

3

(410-1)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．