Question

（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0
（1）令ω=1，判斷函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的奇偶性，并說明理由；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個

π

6

單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，對任意a∈R，求y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）特值法：ω=1時，寫出f（x）、F（x），求出F（

π

4

）、F（-

π

4

），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可作出正確判斷；
（2）根據(jù)圖象平移變換求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零點，而[a，a+10π]恰含10個周期，分a是零點，a不是零點兩種情況討論，結(jié)合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值；

解答：解：（1）f（x）=2sinx，
F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）=2sinx+2sin（x+

π

2

）=2（sinx+cosx），
F（

π

4

）=2

2

，F(xiàn)（-

π

4

）=0，F(xiàn)（-

π

4

）≠F（

π

4

），F(xiàn)（-

π

4

）≠-F（

π

4

），
所以，F(xiàn)（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）f（x）=2sin2x，
將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位后得到y(tǒng)=2sin2（x+

π

6

）+1的圖象，所以g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+

5

12

π或x=kπ+

3

4

π（k∈z），
因為[a，a+10π]恰含10個周期，所以，當(dāng)a是零點時，在[a，a+10π]上零點個數(shù)21，
當(dāng)a不是零點時，a+kπ（k∈z）也都不是零點，區(qū)間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[a，a+10π]上有20個零點．
綜上，y=g（x）在[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值為21或20．

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖象分析是解決（2）問的關(guān)鍵