Question

為了解甲、乙兩廠產(chǎn)品的質量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取各10件樣品，測量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：

規(guī)定：當產(chǎn)品中的此種元素含量不小于16毫克時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件樣品中，隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列及其數(shù)學期望E（X）；
（Ⅲ）從甲廠的10件樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）算出甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，從而得出優(yōu)等品率即可．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．由古典概型分別求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（Ⅲ）抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠1件”，分別計算出它們的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為

6

10

=

3

5

，
乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為

5

10

=

1

2

．…（2分）
（Ⅱ）由題意知ξ的值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

=

1

12

，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

∴Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．
（Ⅲ）抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，
即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠0件”，
B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠1件”，
P（A）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)×

C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

27

500

，
P（B）=

C

3 3

(

3

5

)3×

C

1 3

(

1

2

)(

1

2

)2=

81

1000

，
∴抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率：
P=P（A）+P（B）=

27

500

+

81

1000

=

27

200

．

點評：本題考查莖葉圖、樣本估計總體、離散型隨機變量的分布列和期望等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．