Question

在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．且sin²B-

6

5

sinB+

9

25

=0．
（1）求sin（B+

π

4

）的值；
（2）若a=5，b=9，求sinA的值；
（3）若b=

7

a+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式變形求出sinB的值，進(jìn)而求出cosB的值，原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）由sinB，a，b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值；
（3）利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形后，將a+c，b，cosB的值代入求出ac的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）已知等式變形得：（sinB-

3

5

）²=0，即sinB=

3

5

，
∵B為銳角，∴cosB=

1-sin2B

=

4

5

，
則原式=

2

2

（sinB+cosB）=

7 2

10

；
（2）∵a=5，b=9，sinB=

3

5

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

=

5× 3 5

9

=

1

3

；
（3）∵b=

7

，cosB=

4

5

，a+c=5，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-

18

5

ac，即7=25-

18

5

ac，
整理得：ac=5，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×5×

3

5

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．