Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（-4，0）作直線交橢圓C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B′，點(diǎn)F（-1，0）為橢圓C的左焦點(diǎn)，且

PB

=λ

PA

（λ＞1）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若λ=2，求線段BB′的長；
（3）證明：

B′F

=λ

FA

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=1，又c²=a²-b²，b²=3，可求a；
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，由

PB

=2

PA

，知A為PB的中點(diǎn)，設(shè)A（x₀，y₀），則B（2x₀+4，2y₀），分別愛人橢圓方程可得方程組，解出y₀即得；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則B′（x₂，-y₂），由

PB

=λ

PA

可得x₂+4=λ（x₁+4），y₂=λy₁①，而

x12 4 + y12 3 =1② x22 4 + y22 3 =1③

，③-②×λ²得

(x2-λx1)(x2+λx1)

4

+

y22-λ2y12

3

=1-λ²④，①代入④得-1-x₂-λ（x₁+1）=0，可證明

B′F

-λ

FA

=（0，0）．

解答： 解：（1）依題意，c=1，
又c²=a²-b²，其中b²=3，
∴a=2．
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，

PB

=2

PA

，即A為PB的中點(diǎn)，
設(shè)A（x₀，y₀），則B（2x₀+4，2y₀），
此時(shí)

x02

4

+

y02

3

=1，且

(2x0+4)2

4

+

(2y0)2

3

=1，
解得x0=-

7

4

，y0=±

3 5

8

，
∴線段BB′的長為

3 5

4

；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則B′（x₂，-y₂），
由

PB

=λ

PA

得（x₂+4，y₂）=λ（x₁+4，y₁），則x₂+4=λ（x₁+4），y₂=λy₁，①
又

x12 4 + y12 3 =1② x22 4 + y22 3 =1③

，
③-②×λ²得

(x2-λx1)(x2+λx1)

4

+

y22-λ2y12

3

=1-λ²，④
將①代入④得-1-x₂-λ（x₁+1）=0，
則

B′F

-λ

FA

=（-1-x₂-λ（x₁+1），y₂-λy₁）=（0，0），即證明

B′F

=λ

FA

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算等知識，考查方程思想，考查學(xué)生的推理論證與運(yùn)算能力．