Question

已知函數(shù)．
（1）求該函數(shù)的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)解析式第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第一、三項利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函數(shù)間的基本關系及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的值域得出函數(shù)的值域，即可確定出函數(shù)的最小值；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-，2kπ+]，列出關于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范圍，與x∈[0，π]取交集，即可得到該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）y=sin⁴x+2sinxcosx-cos⁴x
=sin2x+（sin⁴x-cos⁴x）
=sin2x+（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-）≤1，∴-2≤2sin（2x-）≤2，
則y_min=-2；…（6分）
（2）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
則kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-，]或x∈[，]，…（10分）
與x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，]或x∈[，π]，
則當x∈[0，π]時，函數(shù)的遞增區(qū)間是x∈[0，]和x∈[，π]．…（12分）
點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)中的恒等變換應用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．