Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AB₁交A₁B于點(diǎn)E，連結(jié)OE．證出DE為△AB₁C的中位線，得DE∥B₁C，利用線面平行的判定定理，即可證出B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用等腰三角形“三線合一”證出BD⊥AC，根據(jù)AA₁⊥平面ABC證出BD⊥AA₁，從而證出BD⊥平面ACC₁A₁，結(jié)合BD是平面A₁BD內(nèi)的直線，利用面面垂直的判定定理，可得平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點(diǎn)E，連結(jié)OE
∵四邊形AA₁B₁B為平行四邊形，
∴E為AB₁的中點(diǎn)，
∵D是AC的中點(diǎn)，可得DE為△AB₁C的中位線，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁內(nèi)的相交直線，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

點(diǎn)評(píng)：本題在直三棱柱中證明線面平行和面面垂直，著重考查了直三棱柱的性質(zhì)和空間平行、垂直位置關(guān)系的判定與證明等知識(shí)，屬于中檔題．