Question

17．已知橢圓$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{3}{5}$，過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為$\frac{32}{5}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P（m，0）為橢圓C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且斜率為$\frac{4}{5}$的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，證明：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率及通徑構(gòu)造方程組，求得a，b．
（2）直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，采用設(shè)而不求法，證明|PA|²+|PB|²為定值．

解答 解：（1）由題意可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}\\{\frac{2^{2}}{a}=\frac{32}{5}}\end{array}\right.$ 
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$
故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．…（4分）
（2）設(shè)l的方程為$x=\frac{5}{4}y+m$，代入$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$
并整理得：25y²+20my+8（m²-25）=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4}{5}m$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{m}^{2}-25）}{25}$，
又∵$|PA{|}^{2}=（{x}_{1}-m）^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{41}{16}{{y}_{1}}^{2}$，同理$|PB{|}^{2}=\frac{41}{16}{{y}_{2}}^{2}$…（8分）
則$|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}=\frac{41}{16}（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）$
=$\frac{41}{16}$$[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}]$
=$\frac{41}{16}$$[（-\frac{4m}{5}）^{2}-\frac{16（{m}^{2}-25）}{25}]$
=41．
所以|PA|²+|PB|²是定值…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，圓錐曲線中定點(diǎn)定值問(wèn)題．考查了巧設(shè)方程，方程思想，設(shè)而不求法．屬于中檔題．