Question

【題目】已知函數(shù) ， ．

（Ⅰ）當 時， 恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）當 時，研究函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅲ）求證： (參考數(shù)據(jù)： )．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)當時無零點；當時有一個公共點. (Ⅲ)見解析.

【解析】【試題分析】（1）構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)知識運用分類整合思想分析探求；（2）構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)的圖像變化情況，確定函數(shù)的圖像的交點的個數(shù)；（3）借助（1）、（2）的結(jié)論運用縮放的方法進行分析推證：

(Ⅰ)令則

①若，則， ， 在遞增， ，即在 恒成立，滿足，所以；

②若， 在遞增， 且

且時， ，則使進而在遞減，在遞增，

所以當時，即當時， ，不滿足題意，舍去；

綜合①，②知的取值范圍為.

(Ⅱ)依題意得，則，

則在上恒成立，故在遞增，

所以，且時， ；

若，即，則，故在遞減，所以，

在無零點；②若，即，則使，進而在遞減，在遞增， 且時， ， 在上有一個零點，在無零點，故在有一個零點.

綜合①②，當時無零點；當時有一個公共點.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，當時， 對恒成立，

令，則 即；

由(Ⅱ)知，當時， 對恒成立，

令，則，所以；

故有.