Question

16．已知|AB|=2，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|，試建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 先依據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P為（x，y），依據(jù)題中條件：“距離之比”列關(guān)于x，y的方程式，化諳即可得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：選取AB所在直線為橫軸，
從A到B為正方向，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，
過(guò)O作AB的垂線為縱軸，則A為（-1，0），
B為（1，0），設(shè)P為（x，y）
∵|PA|=2|PB|，∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$．
∴4（x-1）²+4y²=（x+1）²+y²，
∴3x²-16x+3y²+3=0．
因?yàn)閤²，y²兩項(xiàng)的系數(shù)相等，且缺xy項(xiàng)，
所以軌跡的圖形是圓．
所求軌跡方程：3x²-16x+3y²+3=0．

點(diǎn)評(píng) 求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．