Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，等價于在上有解，對進(jìn)行分類討論，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，由切線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，等價于方程在上有且只有一解，從而設(shè)，則在上有且只有一個零點(diǎn)，求出函數(shù)有零點(diǎn)，然后討論當(dāng)時，時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)的值或取值范圍．

詳解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>.

依題意知在上有解．

當(dāng)時顯然成立；

當(dāng)時，由于函數(shù)的圖象的對稱軸，

故需且只需，即，解得，故．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，故切線的方程為，即．

從而方程在上有且只有一解．

設(shè)，則在上有且只有一個零點(diǎn)．

又，故函數(shù)有零點(diǎn)．

∵．

當(dāng)時，，又不是常數(shù)函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，滿足題意．

當(dāng)時，由，得或，且．

由，得或；

由，得．

所以當(dāng)在上變化時，，的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

根據(jù)上表知．

而函數(shù)．

所以，故在上，函數(shù)又存在一個零點(diǎn)，不滿足題意．

綜上所述，．