(2012•煙臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-bx2+2x+a
,x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-
2
3
a2
恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),可得f'(2),從而可求b的值,進(jìn)而利用f'(x)>0可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間,f'(x)<0可得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-
2
3
a2
恒成立等價(jià)于a2<f(x)min-
2
3
,x∈[1,+∞)
,由此可求a的取值范圍.
解答:解:(1)求導(dǎo)函數(shù),可得f'(x)=x2-2bx+2
∵x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f'(2)=4-4b+2=0,∴b=
3
2
,--------------------------------------------(2分)
∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)------------------------------------------(4分)
由f'(x)>0得x>2或x<1,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1),(2,+∞);------(6分)
由f'(x)<0得1<x<2,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,2),---------------------(8分)
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,f(x)min=f(2)=a+
2
3
,------------------(10分)
x∈[1,+∞)時(shí),f(x)-
2
3
a2
恒成立等價(jià)于a2<f(x)min-
2
3
,x∈[1,+∞)
-----------(12分)
即a2-a<0,
∴0<a<1.----------------------------------------------------(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值與單調(diào)性,考查恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問(wèn)題利用分離參數(shù)法求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•煙臺(tái)一模)函數(shù)y=
ln|x|
x
的圖象大致是( 。

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(2012•煙臺(tái)一模)定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+3同時(shí)滿足以下條件:
①f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù); 
②f′(x)是偶函數(shù);
③f(x)在x=0處的切線與直線y=x+2垂直.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=4lnx-m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2012•煙臺(tái)一模)若變量x,y滿足約束條件
x≥1
y≥x
3x+2y≤15
則w=log3(2x+y)的最大值為
2
2

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(2012•煙臺(tái)一模)已知命題p:“a=1是x>0,x+
a
x
≥2的充分必要條件”,命題q:“存在x0∈R,x02+x0-2>0”,則下列命題正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•煙臺(tái)一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)f(x)=3x+m(m為常數(shù)),則f(-log35)的值為( 。

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