Question

15．已知方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有兩個不同的根x₁，x₂，且x₁，x₂，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p×q 的值等于20．

Answer 1

分析 方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有兩個不同的根x₁，x₂，△＞0，x₁+x₂=p＞0，x₁x₂=q＞0．可得x₁，x₂＞0．不妨設(shè)x₁＜x₂．由x₁，x₂，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，有6種排序，只能為x₁，x₂，-2；或-2，x₂，x₁；或-2，x₁，x₂；或x₂，x₁，-2．成等差數(shù)列，2x₂=x₁-2或2x₁=x₂-2．取2x₁=x₂-2．由x₁，x₂，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，同理可得：x₁x₂=（-2）²=q．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，x₁，x₂＞0．解出即可得出．

解答 解：∵方程x²-px+q=0（p＞0，q＞0）有兩個不同的根x₁，x₂，
∴△=p²-4q＞0，x₁+x₂=p＞0，x₁x₂=q＞0．
∴x₁，x₂＞0．
不妨設(shè)x₁＜x₂．
由x₁，x₂，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，
有6種排序：x₁，x₂，-2；-2，x₂，x₁；x₂，-2，x₁；x₁，-2，x₂；-2，x₁，x₂；x₂，x₁，-2．
∴只能為x₁，x₂，-2；或-2，x₂，x₁；或-2，x₁，x₂；或x₂，x₁，-2成等差數(shù)列，
∴2x₂=x₁-2或2x₁=x₂-2．
取2x₁=x₂-2．
由x₁，x₂，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，
有6種排序：x₁，x₂，-2；-2，x₂，x₁；x₂，-2，x₁；x₁，-2，x₂；-2，x₁，x₂；x₂，x₁，-2．
∴只能為x₁，-2，x₂；x₂，-2，x₁；成等比數(shù)列．
∴x₁x₂=（-2）²=q，解得q=4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=4}\end{array}\right.$，x₁，x₂＞0．
解得x₁=1，x₂=4，
∴p=5．
∴pq=20．
故答案為：20．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．