已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，且，(為坐標原點).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

 (Ⅱ)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點?若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）（2）見解析.

【解析】（1）由，又，.根據(jù)直角三角形的性質得，從而得.（2）寫出動直線的方程為：與橢圓的方程為：  聯(lián)立消去，由韋達定理求出設定點M（0，m），根據(jù)恒成立.求得m=1.

解：（Ⅰ）因為，所以.   ………………2分

∵，∴⊥，∴；

又∵，∴，

∴.b=1. 因此所求橢圓的方程為：     ………4分

 (Ⅱ)動直線的方程為：

由得

設

則 …………………………………8分

假設在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設，則

          ………………………………12分

由假設得對于任意的恒成立，

即 解得m=1.

因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，

點M的坐標為（0，1）.………………………………………………………14分，.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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