Question

某廠隨機(jī)抽取生產(chǎn)的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)量檢驗(yàn)，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件，已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤為ξ（單位：萬元）．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件產(chǎn)品的平均利潤即ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）提高產(chǎn)品質(zhì)量最后次品率降為1%，一等品率提高到70%（仍有四個等級的產(chǎn)品），如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不低于4.74萬元，則三等品率最多是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）ξ的所有可能取值為6，2，1，-2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
（Ⅲ）設(shè)所求三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利用潤為：E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+（-2）×0.01+x=4.76-x，由此能求出三等品率最多是2%．

解答： 解：（Ⅰ）ξ的所有可能取值為6，2，1，-2，
P（ξ=6）=

126

200

=0.63，
P（ξ=2）=

50

200

=0.25，
P（ξ=1）=

20

200

=0.1，
P（ξ=-2）=

4

200

=0.02．
∴ξ的分布列為：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（Ⅱ）Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1-2×0.02=4.34．
（Ⅲ）設(shè)所求三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利用潤為：
E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+（-2）×0.01+x=4.76-x，
其中x∈[0，0.29），由題意知E（x）≥4.74，
即4.76-x≥4.74，
解得x≤0.02，
∴三等品率最多是2%．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．