Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，且公比q＞0，q≠1，又a₁，5a₃，9a₅成等差數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）令b_n=log₃

1

an

，求證：

1

2

≤

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，a₁，5a₃，9a₅成等差數(shù)列，整理可得q=

1

3

，又a₁=

1

3

，于是可求其通項(xiàng)公式a_n；
（2）將a_n=3^-n代入b_n=log₃

1

an

，可得b_n=n，利用裂項(xiàng)法得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，于是得到

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1，而當(dāng)n=1時(shí)，

1

b1b2

=1-

1

2

=

1

2

，從而可證得結(jié)論成立．

解答： （1）解：∵a₁，5a₃，9a₅成等差數(shù)列，
∴2×5a₃=a₁+9a₅，
∴10a₁q²=a₁+9a₁q⁴，∴9q⁴-10q²+1=0，
∵q＞0，q≠1
∴q=

1

3

，又a₁=

1

3

，∴a_n=3^-n；
（2）證明：∵b_n=log₃

1

an

=log₃3ⁿ=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1；
又當(dāng)n=1時(shí)，

1

b1b2

=1-

1

2

=

1

2

，
∴

1

2

≤

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和的考查，考查推理證明能力，屬于中檔題．