Question

5．已知函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+x-m+\frac{m}{x}（m＞0）$是[1，∞]上的增函數(shù)．當(dāng)實(shí)數(shù)m取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)Q，使得過Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　　）

• A． （0，-3）
• B． （0，3）
• C． （0，-2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出m的最大值，結(jié)合過點(diǎn)Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：由$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+x-m+\frac{m}{x}（m＞0）$得g′（x）=x²+1-$\frac{m}{{x}^{2}}$．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x²+1-$\frac{m}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)x²=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+1-$\frac{m}{t}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)y=t+1-$\frac{m}{t}$，t∈[1，+∞），
∵y′=1+$\frac{m}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)y=t+1-$\frac{m}{t}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此y_min=2-m．
∵y_min≥0，∴2-m≥0，即m≤2．又m＞0，故0＜m≤2．m的最大值為2．
故得g（x）=$\frac{1}{3}$x³+x-2+$\frac{2}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
將函數(shù)g（x）的圖象向上平移2個(gè)長度單位，所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為φ（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x+$\frac{2}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（-x）=-φ（x），
∴φ（x）為奇函數(shù)，
故φ（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱．
由此即得函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q（0，-2）成中心對稱．
這表明存在點(diǎn)Q（0，-2），使得過點(diǎn)Q的直線若能與函數(shù)g（x）的圖象圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的考查，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．