Question

過(guò)雙曲線M：x²-=1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的兩漸近線分別交于B，C兩點(diǎn)，且=，則雙曲線的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線方程，得漸近線方程為y=-bx或y=bx．設(shè)直線l的方程為y=x+1，與漸近線方程聯(lián)解分別得到B、C的橫坐標(biāo)關(guān)于b的式子．由=得B為AC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立關(guān)于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=，即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：由題可知A（-1，0）所以直線l的方程為y=x+1
∵雙曲線M的方程為x²-=1，∴兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx聯(lián)解，得B的橫坐標(biāo)為x_B=-
同理可得C的橫坐標(biāo)為x_C=
∵=，∴B為AC中點(diǎn)，可得2x_B=x_A+x_C，
即-•2=-1+，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c==，可得雙曲線的離心率e==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的漸近線與過(guò)左頂點(diǎn)A的直線相交于B、C兩點(diǎn)且B為AC的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．